欧拉公式证明欧拉公式的推导过程

频道：汽车知识日期：2023-09-13 19:28:04 浏览：1270

老铁们，大家好，相信还有很多朋友对于欧拉公式证明和欧拉公式的推导过程的相关问题不太懂，没关系，今天就由我来为大家分享分享欧拉公式证明以及欧拉公式的推导过程的问题，文章篇幅可能偏长，希望可以帮助到大家，下面一起来看看吧！

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本文目录

欧拉公式如何推导出来
欧拉公式证明是怎么样的
欧拉公式的推导过程
初一欧拉公式是什么
欧拉公式推导欧拉公式推导简述
欧拉公式证明是什么

欧拉公式如何推导出来

推导过程

这三个公式分别为其省略余项的麦克劳林公式，其中麦克劳林公式为泰勒公式的一种特殊形式

在e^x的展开式中把x换成±ix.

所以

由此：然后采用两式相加减的方法得到：

，。这两个也叫做欧拉公式。将

中的x取作π就得到：

这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数字联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π；两个单位：虚数单位i和自然数的单位1；

以及被称为人类伟大发现之一的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”。

扩展资料：

在任何一个规则球面地图上，用 R记区域个数，V记顶点个数，E记边界个数，则 R+ V- E= 2，这就是欧拉定理，它于 1640年由 Descartes首先给出证明，后来 Euler(欧拉)于 1752年又独立地给出证明，我们称其为欧拉定理，在国外也有人称其为 Descartes定理。

R+ V- E= 2就是欧拉公式。

参考资料：百度百科---欧拉公式

欧拉公式证明是怎么样的

欧拉公式证明是，在任何一个规则球面地图上，用 R记区域个数，V记顶点个数，E记边界个数，则 R加V减E等于2，这就是欧拉定理，它于 1640年由 Descartes首先给出证明，后来 Euler欧拉于1752年又独立地给出证明，我们称其为欧拉定理，在国外也有人称其为Descartes定理。

第一个欧拉公式的严格证明，由20岁的柯西给出，大致如下，从多面体去掉一面，通过把去掉的面的边互相拉远，把所有剩下的面变成点和曲线的平面网络，不失一般性，可以假设变形的边继续保持为直线段。

欧拉公式的意义

数学规律，公式描述了简单多面体中顶点数，面数，棱数之间特有的规律，思想方法创新，定理发现证明过程中，观念上，假设它的表面是橡皮薄膜制成的，可随意拉伸，方法上将底面剪掉，化为平面图形。

引入拓扑学，从立体图到拉开图，各面的形状，长度，距离，面积等与度量有关的量发生了变化，而顶点数，面数，棱数等不变，定理引导我们进入一个新几何学领域，拓扑学，我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料如橡皮波做成的图形，拓扑学就是研究图形在这种变形过程中的不变的性质。

在欧拉公式中，fp等于V加F减E叫做欧拉示性数。欧拉定理告诉我们，简单多面体fp等于2，除简单多面体外，还有非简单多面体，例如，将长方体挖去一个洞，连结底面相应顶点得到的多面体。

欧拉公式的推导过程

如下：

eix= 1+ i x- x2/2!- i x3/3!+ x4/4!+ i x5/5!+…

=(1- x2/2!+ x4/4!+…)+ i(x- x3/3!+ x5/5!+…)。

又因为：

cos x= 1- x2/2!+ x4/4!+…+。

sin x= x- x3/3!+ x5/5!+…+。

所以eix= cos x+ i sin x。

在任何一个规则球面地图上，用 R记区域个数，V记顶点个数，E记边界个数，则 R+ V- E= 2，这就是欧拉定理，它于 1640年由Descartes首先给出证明，后来 Euler(欧拉)于 1752年又独立地给出证明，我们称其为欧拉定理，在国外也有人称其为 Descartes定理。

R+ V- E= 2就是欧拉公式。

初一欧拉公式是什么

欧拉公式：R+ V- E= 2。

在任何一个规则球面地图上，用R记区域个数，V记顶点个数，E记边界个数，则R+ V- E= 2，这就是欧拉定理，它于1640年由Descartes首先给出证明，后来Euler(欧拉）于1752年又独立地给出证明，我们称其为欧拉定理，在国外也有人称其为Descartes定理。

用数学归纳法证明

( 1)当R= 2时，这两个区域可想象为以赤道为边界的两个半球面，赤道上有两个“顶点”将赤道分成两条“边界”，即R= 2，V= 2，E= 2；于是R+ V- E= 2，欧拉定理成立。

( 2)设R= m(m≥2)时欧拉定理成立，下面证明R= m+ 1时欧拉定理也成立。

在R= m+ 1的地图上任选一个区域X,则X必有与它如此相邻的区域Y，使得在去掉X和Y之间的唯一一条边界后，地图上只有m个区域了；在去掉X和Y之间的边界后，若原该边界两端的顶点现在都还是3条或3条以上边界的顶点，则该顶点保留，同时其他的边界数不变；若原该边界一端或两端的顶点现在成为2条边界的顶点，则去掉该顶点，该顶点两边的两条边界便成为一条边界。

于是在去掉X和Y之间的唯一一条边界时只有三种情况：

①减少一个区域和一条边界。

②减少一个区域、一个顶点和两条边界。

③减少一个区域、两个顶点和三条边界。

即在去掉X和Y之间的边界时，不论何种情况都必定有“减少的区域数＋减少的顶点数＝减少的边界数”我们将上述过程反过来（即将X和Y之间去掉的边界又照原样画上），就又成为R= m+ 1的地图了，在这一过程中必然是“增加的区域数＋增加的顶点数＝增加的边界数”。

因此，若R= m(m≥2)时欧拉定理成立，则R= m+ 1时欧拉定理也成立。

由（1)和（2)可知，对于任何正整数R≥2,欧拉定理成立。

欧拉公式推导欧拉公式推导简述

欧拉公式推导如下。

1、欧拉公式是e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。

2、e^ix=cosx+isinx的证明：因为e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!+x^4/4!+……cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!……sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!……在e^x的展开式中把x换成±ix.(±i)^2=-1,(±i)^3=??i,(±i)^4=1……e^±ix=1±ix/1!-x^2/2!??x^3/3!+x^4/4!……=(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……)所以e^±ix=cosx±isinx将公式里的x换成-x，得到：e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。将e^ix=cosx+isinx中的x取作π就得到：e^iπ+1=0。